Родился 18 октября 1956 года в Ленинграде, в еврейской семье.
В детстве предки поощряли его занятия искусством. Мама преподавала хореографию в Ленинградском танцевальном училище, потому Евгений проводил много времени за кулисами Кировского (Мариинского) театра. Отец, ценитель живописи, повсевременно прогуливался с отпрыском в Эрмитаж.
В 1979 году закончил Санкт-Петербургскую муниципальную театральную академию.
С 1979 по 1983 годы он разрабатывал декорации и костюмчики для ведущих русских театральных трупп, в том числе Александринского театра и Театра комедии Акимова в Санкт-Петербурге. В 1979—1980 годах с группой коллег по академии соучредил Томской детский театр (Театр молодого зрителя).
В 1983 году Ельчин эмигрировал в Соединенные Штаты. В 1988 году закончил Южнокалифорнийскую киношколу в Лос-Анджелесе и начал режиссировать телевизионную, также анимированную маркетинговые кампании.
Евгений Ельчин занимается и живописью — его работы выставляются в галереях современного искусства.
В 2011 году он написал и проиллюстрировал свою книжку для малышей о школьнике, живущем во время Огромного террора — «Сталинский нос» (Breaking Stalin’s Nose).Вначале она была написана на британском языке и издана в США, но потом Ельчин перевел её на российский язык (при содействии русской переводчицы Ольги Бухиной) и издал в Рф.
Брат — фигурист и тренер по фигурному катанию Виктор Ельчин; племянник — актёр Антон Ельчин.