Иосиф Бау родился 3 июня 1920 года в Кракове в еврейской семье Абрахама и Цили Бау. С 1938 года стал учиться в Краковской школе пластических искусств. В декабре 1939 года был исключён после того, как был выпущен указ губернатора Краковского дистрикта о воспрещении обучения евреев в муниципальных учебных заведениях. Проживая вкупе с братом Марселем в краковском районе Ольша, Иосиф Бау избежал выселения в Краковское гетто. Весной 1941 года он незаконно просочился в гетто, чтоб объединиться со собственной семьёй. Пребывал без документов в здании на площади Згоды, 1. Зарабатывал оформлением визиток, после работал художником для германских учреждений, находящихся в гетто. Будучи членом Еврейской боевой организации, Иосиф Бау изготавливал поддельные печати и документы. По указу германского бюрократа Вильгельма Кунде занимался составлением карты Краковского гетто, после этого был выслан на фабрику «Optima». В 1942 году Иосиф Бау был выслан в концентрационный лагерь Плашов, где работал в канцелярии лагеря художником. В лагере он написал сборник собственных стихотворений, проиллюстрировав его своими рисунками. Тут же он подпольно женился на Ребекке Танненбаум. Их свадьба была изображена в кинофильме «Перечень Шиндлера». Позже он был выслан в концентрационный лагерь Гросс-Розен, откуда был избавлен благодаря Списку Шиндлера и вывезен на местность Чехословакии в город Брюннлиц, где он совместно с другими выручилёнными Шиндлером дождался освобождения в мае 1945 года.
После окончания войны вкупе с супругой возвратился в Краков, где окончил прерванную войной учёбу в Краковской школе пластических искусств. Во время учёбы работал графиком и иллюстратором в повторяющейся прессе: «Przekrój», «Żołnierz Polski» и «Szpilki».
В 1948 году опубликовал свои 1-ые стихи на польском языке в издании «Echo Krakowa».
В 1950 году вкупе с семьёй эмигрировал в Израиль. Работал художником в Институте Брандвайн в Хайфе. В 1956 году основал свою студию в Тель-Авиве. Иосиф Бау оформил титулы практически всех израильских анимированных кинофильмов, выходивших в 60-е и 70-е годы XX столетия.
Был членом израильских Обществ живописцев и архитекторов, телевизионных и синематографических режиссёров и Союза писателей, пишущих на польском языке.
Иосиф Бау был снят в заключительной сцене кинофильма «Список Шиндлера», где он кладёт камень на могилу Шиндлера.