Родился в семье портного. В конце 20-х годов семья Легенченко переехала в Сталинград, где после окончания школы Александр поступил в Сталинградский художественный техникум; обучался у Николая Николаевича Любимова, 1-го из основоположников художественного техникума, ученика И. С. Горюшкина-Сорокопудова. Закончив техникум в 1934 году, поступил на предварительные курсы при институте живописи, статуи и архитектуры Всероссийской академии художеств в Ленинграде; в 1937 году возвратился в Сталинград. Писал, участвовал в выставках. В 1941 году стал одним из первых в городке членом Союза русских живописцев.

В 1941 году был призван на фронт. В свободное время отрисовывал, чем придётся, на обрывках бумаги — портреты однополчан, пейзажи. Большая часть работ военных лет не сохранилась, в 1950-е годы А. Легенченко воспроизвёл их вновь. Прошёл в боях от Севастополя до Берлина, защищал Сталинград.

В 1960-е годы в творческой командировке на строящейся Волжской ГЭС сделал серии графических работ. В 1960—1980-е годы путешествовал по Русскому Союзу, посетил некие городка Европы; работал на даче в Подмосковье, в Доме графиков «Челюскинская».

Погиб 13 октября 2003 года.