Г.Штейнер родился в семье интенданта городского театра. В 1915—1920 годах семья жила в Цюрихе, с 1922 будущий живописец обучается в Гамбурге, где в 1926 поступает в Школу прикладного искусства. В 1927—1929 годах он работает оформителем сцены в театрах Гамбурга и Берлина, потом (в 1929—1932) — Мюнхена. В Мюнхене же Штейнер поступает в Академию художеств, в класс Карла Каспара. Потом, в 1934—1938 Г.Штейнер живойёт как свободный живописец в Дюссельдорфе, откуда совершает учебные поездки в Париж, Амстердам, Цюрих, в Эльзас. В 1938 он уезжает в Италию, живойёт во Флоренции, где заходит в кружок германских живописцев — Ганса Пуррмана, Рудольфа Леви, Эми Рёдер, Хейнца Баттке и др. Особое воздействие на живопись Г.Штейнера оказал ученик Матисса Р.Леви. Во Флоренции живописец учился в местной художественной академии и в 1939 году в первый раз выставлял свои полотна.
В 1946 году на Венецианском биеннале работы Г.Штейнера завоёвывают «Premio Colomba». В 1948 году переезжает в Венецию, но в 1949 ворачивается во Флоренцию, женится на Джулиане Тоти, и в 1950 приезжает в Германию, где работает преподавателем. Был членом художественного движения Пфальцский сецессион, в 1953 был награждён Пфальцской премией в области живописи городка Кайзерслаутерн. В 1959—1974 годах Г.Штейнер преподаёт живопись во Франкфурте-на-Майне. В 1966 он строит летний домик в Леричи в Лигурии, на средиземноморском побережье, где потом проводит летние месяцы. В 1974 живописец совсем переезжает в Италию и живойёт попеременно в Риме и в Леричи.
Выставки работ Г.Штейнера с 1939 по 2010 годы проходили в бессчетных музеях и галереях Германии и Италии, в том числе Флоренции, Венеции, Рима, Триеста, Падуи, Милана, Генуи, Кёльна, Бонна, Майнца, Франкфурта-на-Майне, Ганновера, Дюссельдорфа, Мюнхена, Кайзерслаутерна, Билефельда и др.