Предки Александра Борисова были крестьянами. В пятнадцать лет он пришёл в Соловецкий монастырь, где работал на рыболовной тоне в Савватиевском скиту. Скоро он устроился учеником в иконописную мастерскую. Архимандрит монастыря, лицезрев карандашные картинки Борисова, увез его в главную обитель. Будучи послушником, Александр учился рисованию и иконописи.
На работы Борисова направили внимание посещавшие Соловки президент Академии художеств Величавый князь Владимир Александрович и узнаваемый сборщик живописи генерал Андрей Андреевич Боголюбов, служивший в штабе Петербургского военного окрестность. Они посодействовали Александру: ему была выделена стипендия и 20 сентября 1886 года он приехал в Санкт-Петербург.
За период обучения в Академии художеств с 1888 по 1892 год творческие заслуги Борисова были отмечены 2-мя малыми и одной большой поощрительными серебряными медалями. За «хорошие успехи в художественных классах» совет Академии удовлетворил просьбу Борисова, и с июня 1892 года ему назначили стипендию «как муниципальному крестьянину». В 1895 году технику рисунка А. А. Борисов постигал в мастерской И. И. Шишкина, а через год после его ухода из Академии — у А. И. Куинджи.
Летом 1894 года Борисов аккомпанировал С. Ю. Витте на пароходе «Ломоносов» в поездке по Северу. В обязанности Борисова входили зарисовки гаваней и бухт Мурманского побережья. А. А. Борисов выполнил мечту побывать в Ледовитом океане и стал вынашивать идею высокоширотной художественной экспедиции.
Из поездки 1894 года он привёз около 150 этюдов, часть которых экспонировалась в 1897 году на академической выставке в Петербурге. Эти работы вызвали восхищение В. М. Васнецова, хвалебные отзывы В. В. Стасова. П. М. Третьяков заполучил для собственной коллекции работы А. Борисова на 8 тыс. рублей. И. Е. Репин так отозвался о работах юного художника:
«Это все потрясающие и верные, как зеркало, рисунки, строго нарисованные и необычно правдиво написанные. В их ярко выразилась любовь этого российского Нансена к темной воде океана с белоснежными льдинами, свежесть и глубина северных тонов, то сумрачных, то озаренных резким светом низкого солнца. Горы, наполовину покрытые снегом во время самого горячего лета, берега, дали, лодки, самоеды в оленьих шкурах… — всё это дышит у него особой красотой Ледовитого океана и производит воспоминание живой правды».
«Весенняя полярная ночь». 1897 Третьяковская галереяВ 1900 году А. А. Борисов и восемь его спутников направились на Новейшую Землю. Экспедиция продолжалась четырнадцать месяцев, и за этот период времени Борисову и его товарищам пришлось преодолеть много проблем. Они исследовали и наносили на карту берега заливов Чекина, Незнаемый и Медвежий, давая бухтам, проливам, горным верхушкам и мысам имена живописцев, учёных и тех кто содействовал освоению Севера. Благодаря Борисову на карте Новейшей Земли увековечены имена многих российских живописцев: мысы Шишкина, Куинджи, Крамского, Васнецова, Верещагина, Репина, также ледник Третьякова. Горы Кази названы в честь устроителя кораблестроения в Рф М. И. Кази. Не считая того, путники вели метеорологические наблюдения, собирали геологические, ботанические и зоологические коллекции. Одним из основных результатов экспедиции стали сотки эскизов и этюдов, послуживших темой монументальных полотен, сделанных Борисовым по возвращении с Новейшей Земли.
Работы художника экспонировавшиеся на вешних Петербургских выставках 1900—1905 годах завлекли внимание ценителей искусства не только лишь в Рф, да и за рубежом. В 1902 году по приглашению Венского общества живописцев А. А. Борисов устраивает выставку в столице Австрии. Фуррор Борисова позволил ему провести выставки в Берлине, Гамбурге, Кельне, Дюссельдорфе и Париже. Французское правительство вознаградило художника орденом Почётного легиона. В 1907 году в Лондоне выставку Борисову посетил известный полярный исследователь Фритьоф Нансен и вручил художнику от имени правительств Швеции и Норвегии орден Св. Олафа. А Английское правительство вознаградило художника орденом Бани.
В 1906 году А. А. Борисов воспринимал активное роль в разработке «Северного кружка любителей роскошных искусств», участвовал в разработке устава, а потом в организации всех выставок кружка (1905—1919).
Сначала 1908 года Борисов приехал в США. Выставка его картин в Вашингтоне была проведена в резиденции Президента — Белоснежном Доме. Борисов стал первым русским художником, принятым Президентом США.
Возвратившись в Россию Борисов поселился на родине, близ Красноборска. В эти годы Борисов делает произведения, посвященные не только лишь Арктике, да и Соловкам, Печоре, северодвинским землям. В феврале 1914 года живописец устраивает в Петербурге крупную выставку.
«Зимняя сказка». 1913Не считая живописи А. А. Борисов писал путные очерки — «У самоедов. От Пинеги до Карского моря» (1907), «В стране холода и смерти» (1909), «Великий Северо-Восточный путь. Величавый речной путь из Сибири в Европу» (1910), «Обь-Мурманская стальная дорога» (1915). В этих работах он пишет о природных богатствах края и о бедственном положении коренного населения. В собственных научных докладах и проектах он изучит экономическую жизнь Севера, высказывается о необходимости строительства Северного жд пути и соединения северных и сибирских рек каналами.
В 1915 — 1916 годах А. А. Борисов разрабатывает проект строительства Обь-Мурманской стальной дороги, строительство которой было поддержано королевским правительством, также сменившим его после революции Совнаркомом. Но из-за штатской войны проект был реализован только через 10-ки лет.
В 20 — 30-е годы Борисов воспринимал активное роль в разработке проекта стальной дороги Обь — Котлас — Сорока, а в 1922 году по инициативе А. А. Борисова на базе соляного источника неподалеку от Красноборска был открыт курорт «Солониха», первым управляющим которого стал сам живописец.
17 августа 1934 года живописец скончался в своём доме близ Красноборска.
В текущее время произведения Борисова хранятся в Российском музее, Третьяковской галерее, Архангельском областном музее, Вологодской картинной галерее, Ненецком окружном музее и других музеях Рф.